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Un mwbasottoinsieme mwbqH di un mwbggruppo mwbwG è un mwcasottogruppo se è un gruppo con l'mwcqoperazione definita in mwcgG.

Ogni gruppo mwdaG contiene almeno due sottogruppi: il gruppo mwdqG stesso, ed il sottogruppo mwdgbanale formato unicamente dall'elemento neutro di mwdwG (naturalmente questi coincidono se mwea G {\displaystyle G} ha un solo elemento).

Un sottogruppo si dice mwegproprio semwew H è un mwfasottoinsieme proprio di mwfqG.

• Proprietà dei sottogruppi

• Definizioni alternative

• Intersezione e generatori

• Proprietà preservate

• Esempi

• Classi laterali e Teorema di Lagrange

• Voci correlate

• Collegamenti esterni

Nel seguito, sia mwgq G {\displaystyle G} un gruppo rispetto all'operazione mwgg ∗ ∗ {\displaystyle *} , e sia mwgw a − − 1 {\displaystyle a^{-1}} l'inverso di mwha a ∈ ∈ G {\displaystyle a\in G} .

mwhwH è un sottogruppo di mwiaG se e solo se è non-vuoto, ed è chiuso rispetto al prodotto e all'inverso. In altre parole:

• per ogni mwiwa e mwjab in mwjqH, il loro prodotto mwjg a ∗ ∗ b {\displaystyle a*b} è ancora in mwjwH;

• per ogni mwkqa in mwkgH l'inverso mwkw a − − 1 {\displaystyle a^{-1}} è ancora in mwlaH.

Alternativamente, possiamo chiedere che:

• per ogni mwmaa e mwmqb in mwmgH il prodotto mwmw a ∗ ∗ b − − 1 {\displaystyle a*b^{-1}} è ancora in mwnaH.

Se mwngH è finito, è un sottogruppo se e solo se è non vuoto, e chiuso rispetto al prodotto.

L'mwoqintersezione di due sottogruppi mwogH e mwowH' è ancora un sottogruppo di mwpaG. Invece l'mwpqunione insiemistica di due sottogruppi è un sottogruppo se e solo se uno dei due sottogruppi contiene l'altro.

Se mwpwS è un sottoinsieme di mwqaG, esiste un sottogruppo più piccolo fra quelli che contengono mwqqS, che viene indicato con <mwqgS> e chiamato il mwqwsottogruppo generato da mwraS. Un elemento di mwrqG è in <mwrgS> se e solo se è il prodotto di un numero finito di elementi di mwrwS o dei loro inversi.

Ogni elemento mwsqa genera quindi un sottogruppo mwsgciclico <mwswa>. Se <mwtaa> è mwtqisomorfo a mwtgZ/mwtwnmwuaZ per qualche intero positivo mwuqn, allora mwugn è il più piccolo naturale per cui mwuwamwvamwvqn = mwvge, e mwvwn è lmwwa'mwwqordine di mwwga. Se <mwwwa> è isomorfo a mwxaZ, allora mwxqa ha mwxgordine infinito.

I sottogruppi formano un mwyareticolo completo con l'inclusione.

• Un sottogruppo di un mwzagruppo finito è finito.

• Un sottogruppo di un mwzggruppo abeliano è abeliano.

• Un sottogruppo di un mwaagruppo ciclico è ciclico.

Sia mwawG il mwbagruppo abeliano i cui elementi sono

mwbwG={0,2,4,6,1,3,5,7}

e la cui operazione è l'mwcqaddizione modulo 8, riassunta nella mwcgtavola di composizione seguente.

Questo gruppo ha due sottogruppi non banali: mwasamwaseJ={0,4} e mwasimwasmH={0,2,4,6}, dove mwasqJ è anche un sottogruppo di mwasuH.

Sia mwaskH un sottogruppo di mwasoG. La relazione su mwassG

mwas4 a ∼ ∼ b ⇔ ⇔ a b − − 1 ∈ ∈ H {\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow ab^{-1}\in H}

è una mwatarelazione d'equivalenza, e induce quindi una mwatepartizione di mwatiG.

Dato un elemento mwatqa, la mwatuclasse laterale destra di mwatyH associata ad mwatca è l'insieme

mwato H a = { h a | h ∈ ∈ H } . {\displaystyle Ha=\{ha|h\in H\}.}

Si dimostra facilmente che i sottoinsiemi che formano la partizione di mwatwG sono le classi laterali destre di mwat0H. Due elementi mwat4a e mwat8a' danno la stessa classe destra se e solo se sono in relazione d'equivalenza. Il numero di queste classi è detto lmwaua'mwaueindice di mwauiH in mwaumG ed è indicato dal simbolo [mwauqGmwauu : mwauyH].

Poiché mwauga è invertibile, la mappa

mwaus ϕ ϕ : H → → H a , ϕ ϕ ( h ) = h a {\displaystyle \phi :H\rightarrow Ha,\quad \phi (h)=ha}

è una mwau0biiezione, per ogni mwau4a. Da questo fatto segue il mwau8teorema di Lagrange, che dice che se mwavaG è finito

mwavm [ G : H ] = o ( G ) o ( H ) {\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}

dove o(mwavuG) e o(mwavyH) sono gli mwavcordini (cioè il numero di elementi) di mwavgG e mwavkH.

Quindi, se mwavsH è un sottogruppo di un gruppo finito mwavwG, l'ordine di mwav0H deve dividere l'ordine di mwav4G.

Si definiscono analogamente le classi laterali sinistre, ottenendo lo stesso risultato. Se mwawaaH = mwaweHa per ogni mwawia (cioè le classi sinistre e destre coincidono), allora mwawmH è un mwawqsottogruppo normale.

• mwawgGruppo (matematica)

• mwawoSottogruppo normale

• citereftreccani-itSottogruppo, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefdizionario-delle-scienze-fisicheSottogruppo, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

• citerefvocabolario-treccaniSottogruppo, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefsapere-itsottogrùppo, su sapere.it, De Agostini.

• citerefenciclopedia-della-matematicaSottogruppo, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Subgroup, su MathWorld, Wolfram Research.

• citerefspringereom(EN) Subgroup, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.